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論文 |
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小俣, 正朗 ; Omata, Seiro
概要:
金沢大学理工研究域地球社会基盤学系<br />アメリカンオプションに現れる、ブラックショールズ方程式の自由境界問題の研究を行ってきた。最終的に1次元ブラックショールズモデルのアメリカンオプション計算システムが完成した。自由境界、即ち「権利行
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使最適値」を見いだすに足る、数値解析プログラムである。ブラックショールズ方程式のアメリカンオプション版は、数学的にはObstacle problem(障害物問題)と呼ばれるもので、楕円型の場合、障害物と解のグラフは1階微分までが一致して(接っして)いる。これは数値解析にとっては誠に都合の悪いことで、自由境界の場所を特定するのを難しくしている。このため、メッシュを細かくして数値計算を行ったり、さらに微分した方程式から情報を得るなどの工夫が必要になる。本研究では、微分した方程式の解の情報から自由境界の位置を精密に決めることに成功した。精密に計算するためには大規模計算が必要で、当研究室で開発した分散並列計算機を用いて数値実験を行った。科研費のおかげで、小さなパソコンによる分散並列系で処理する環境が整った。また、複雑なオプションでは高次元の問題が出てくるがこれにも対応するプログラムを開発したが、まだ安定的に使える状況に至っていない。さらに、自由境界問題に関する解法プログラムを完成させ、以上の成果を、学術誌掲載(予定も含む)4報にまとめることができた。特に、ブラックショールズの問題については、第52回理論応用力学講演会オーガナイズドセッション「数理ファイナンスの展開」(セッションオーガナイザー)において(共同研究者による)講演を行い、このプロシーディングに投稿中である。しかし、解法システムは完成したが、数学理論で、退化オペレータの扱いが完全には出来ていない。また、この問題は初期領域が無い問題で、ここにも重大な難点がある。今後の課題であろう。<br />研究課題/領域番号:13874022, 研究期間(年度):2001 – 2002<br />出典：「数理ファイナンスに現れる自由境界問題の数理解析」研究成果報告書 課題番号13874022（KAKEN：科学研究費助成事業データベース（国立情報学研究所）） （ https://kaken.nii.ac.jp/ja/grant/KAKENHI-PROJECT-13874022/ ）を加工して作成
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小俣, 正朗 ; Omata, Seiro
概要:
非線形偏微分方程式・変分問題で、幾何学的測度論に関連する問題が重要な研究対象となってきた。この問題は変分問題を出発点として、放物型などへも拡張されてきた。しかしながら、正則性の問題などから、双曲型への拡張はあまり行われてこなかった。本研究で
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は幾何学的測度論と双曲型との融合をメインテーマとし、特に自由境界問題についての研究を行ってきた。物理的イメージとして、液滴の付着問題、弾性体ボールの衝突問題などにあたり、数学的手法と共に数値解析法の開発も行ってきた。現在、表面張力に駆動される液滴の運動を粒子法で再現したり、マルチフェイズ（多数の重なり合う泡構造）の問題についても数値結果を得た。<br />In this research work, hyperbolic free boundary problems have been treated. The basic equation expresses a model for peeling off a tape from a plane. Based on this model, we established a new method analyzing bubble motion on water surface or small droplet motion with dynamic contact angle on obstacle. In the case of everal attached bubbles, we developed an efficient algorithm which can automatically deal with moving junctions including topological changes. On the ther hand, we have constructed a numerical solver for the problem of bouncing elastic shell via the discrete Morse flow method. Using this algorithm, we are able to incorporate inner structure and analyze the interactionbetween the shell and its contents.<br />研究課題/領域番号:24654020, 研究期間(年度):2012-04-01 - 2014-03-31
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小俣, 正朗 ; Omata, Seiro
概要:
金沢大学理工研究域数物科学系<br />本研究は、弾性体・流体などの動力学相互作用をエネルギー系として記述し、変分法に基づいた数学的解法とシミュレーション技法を確立することを目標としていた。相互作用として付着・剥離・衝突を想定する。対象物が
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体積保存するなど大域的制約条件が付く場合を取り扱った。このために、エネルギー法(Lagrangian)に基づく方法論である離散勾配流法を導入した。これは時間差分空間微分型汎関数を用いて双曲型方程式の近似解の構成に変分の直接法を用いるものである。この方法は偏微分方程式に比べて大域的情報を含めやすい。弾性体の振動などを記述する場合に優れている。非局所効果や不連続性のある諸問題の解析も行った。<br />We have studied the motion of elastic body, fluid and their interaction. We used energy formula and variational method for solving these problems. The main target was hyperbolic free boundary problems which can be treated the motion of bubble even with junctions.Our method is based on the discrete Morse flow, which is defined by "time difference space differential" type functionals. We have constructed approximate solutions for hyperbolic free boundary problems and in easy cases we could show the existence of the solution.The other feature of this problem is that we can add global constraints such as volume preserving constraint.We also developed numerical algorithm based on this idea.<br />研究課題/領域番号:23340024, 研究期間(年度):2011-04-01 - 2015-03-31
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小俣, 正朗 ; Omata, Seiro
概要:
時間発展の偏微分方程式で解に特異点が生じる問題群についての数学的解析と数値解法の開発を行ってきた。特に双曲型体積保存自由境界問題・放物型体積保存自由境界問題では解の存在と一意性について一定の結果を得た。すなわち、新しい弱解定義、構成、放物型
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については、弱解のヘルダー連続性を示した。また、数値解法についても、ラグランジェアンの停留点を求める方法論としての離散勾配流法の有効性を確かめるとともに、これを用いた連成解析用のソルバーを開発した。さらに、一部ソバーについては並列化を行いパラレルマシン対応とした。<br />研究課題/領域番号:18340047, 研究期間(年度):2006-2009
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小俣, 正朗 ; Omata, Seiro
概要:
研究計画に基づいて、(1)自由境界を持つ石鹸膜の振動問題について主要項をラプラス作用素としたものの近似解の構成と数値解析法の開発を行った。(2)双曲型の体積保存問題とそれに関連する自由境界問題についての近似弱解の構成と数値計算方法の開発を行
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った。(3)体積保存条件を持つ振動方程式を導きその弱解の構成を行った。(4)体積保存条件を持つ放物型方程式の弱解の構成とヘルダー連続性を示した。この結果、自由境界のある堺合は、non-local termを持つ退化双曲型自由堤界問題などの近似解の構成にたどり着いたことになる。また、この種の自由度界問題には、変分問題に基づく計算方法である双曲型離散勾記流法が大変有効であり、制約条件の無い場合の双曲型自由境界問題でも、近似方程式がうまく意味づけられることが分かった。この問題は、物理的なイメージとしては、ガラス面上での液滴モデルの時間発展ダイナミクスであり、その振動解析を行うところまで迫ったと考えられる。さらに数値計算では液滴の合体や分離も取り扱えるようになった。また、体積保存の振動方程式は津波を表面波だけで記述する基礎方程式と密接な関係があることがわかった。津波に対しては1次元の場合に、数値計算方法が開発された。残念ながら高次元の場合は今後の課題として残った。また、これに付随して出てきた、変分問題は新しいタイプであり今後の発展が期待される。全般的に本研究は、補助金のおかげと研究分担者の協力により順調に進み一定の成果を挙げたと判断される。<br />The aim of this research was to solve nonlinear Partial Differential Equations whose solution is expected to have singularities depending on time. The candidates of singularities are defects in harmonic mapping, vortex in Ginzburg-Landau problem and free boundaries.We have solved the following problems;(1)On a Soap film vibration with free boundary, we have established the method to treat wave type free boundary problems(2)We developed a numerical method via the discrete Mores flow for volume constraint conditions(3)We constructed a weak solution to a hyperbolic equation with volume constraint(4)We constructed a weak solution to a parabolic equation with volume constraint and showing Hoelder continuity of thesolutionMoreover we have developed solvers for parallel machine with minimizing algorithm via the discrete Morese flows. This works very well especially for volume constraint problems. This is also very nice for a weak connected parallel machines, because it uses direct method of variational principle.Finally, we would like to express pur special thanks to all participants of this project.<br />研究課題/領域番号:15340041, 研究期間(年度):2003-2005<br />出典：「偏微分方程式の解に時間依存の特異点が現れる諸問題の数理解析」研究成果報告書 課題番号15340041 (KAKEN：科学研究費助成事業データベース（国立情報学研究所）) 本文データは著者版報告書より作成
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小俣, 正朗 ; Omata, Seiro
概要:
金沢大学理学部<br />変分問題の数値解析を中心に研究を行ってきた。現在数値解析法の整備を行っている。目的は、解の特異点等「定義域より低い次元の集合」を見いだすための、数値解析プログラムの作成を行うことが目標であった。研究は補助金のおかげ
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と、研究分担者の協力により、順調に終了した。また、低温超伝導のモデル方程式であるGinzburg-Landauエネルギーを、magnetic thin filmにおける、magnetic wallの形状の問題、また、smestics liquid crystalsの問題に応用して解析を行った。これらの現象が、eikonal方程式の解の特異点として特徴づけられるのである。これらのある種の極限における特異点集合の構造を数値計算によって予測することが出来た。また、並列計算機を用いて、3次元数値計算を行う環境を整えつつある。一部プログラムは順調に動作しており、大規模計算ではメモリーの節約により、パソコンでも動く環境を新たに構築した。さらに、双曲型自由境界問題に対しても変分法に基づくプログラムを開発し、2次元の解の挙動を数値的に知ることが出来た。また、BBM-Burgers方程式について、孤立波解の漸近挙動をしらべ、非線形項のオーダーによって、熱型、Burgers方程式の解に近づいていく早さを求めることが出来た。以上の成果を、学術誌掲載(予定も含む)8報にまとめることができた。今後の課題として、より高次元の問題への対処を行うこと、安定性の議論などの整備が考えられる。<br />We mainly investigated partial differential equations related to a variational problem via the discrete Morse semiflows. Our main interest is on sets of singular points of a solutions. Such sets has sometimes big energy concentrate on it. So, we can cosider that our purpose is on treating the energy concentration phenomena on the singularity of solutions. In this stand point of view, we treated the following type of problems :(1) Develop a prallel machine for solving mininizing problems,(2) Develop a Numerical method via a minimization process,(3) Develop a method to solve both parabolic and hyperbolic equations via minimizing.For these problems, we have developped a 8-CPU parallel computer for solving minimizing problems. By use of this, we did a numerical copmutations to catch the structure of singularities for eikonal equation, Ginzburg-Landau system, and smestics liquid crystal problems. Basic method due to discrete Morse semiflow for parabolic and hyperbolic problems.We also solved the asymptotic behavior of solitary wave solutions for BBM-Burgers equations.Moreover we developped a software to solve hyperbolic free boundary problems. This is based on the smoothing method of a equation and we can get good results even when the free boundary changes its topology.We summed up these results into 8 papers (appeared or in press) and 2 preprint (submitted).<br />研究課題/領域番号:11640159, 研究期間(年度):1999 – 2000<br />出典：「変分問題に関連する偏微分方程式の離散勾配流を用いた数理解析」研究成果報告書 課題番号11640159（KAKEN：科学研究費助成事業データベース（国立情報学研究所）） （https://kaken.nii.ac.jp/ja/report/KAKENHI-PROJECT-11640159/116401592000kenkyu_seika_hokoku_gaiyo/）を加工して作成
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