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一瀬, 孝 ; Ichinose, Takashi
概要:
本研究課題の最初の動機は、B.Helffer(1994-5)のカッツの転送作用素に関する仕事とRogava(1993)の作用素ノルムに関するリー・トロッター積公式に関する仕事であった.この2年間シュレーディンガー作用素論との関連に基づいてそ
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れまでの研究を更に発展させ,上の2つの仕事を拡張する精緻な結果を得た.研究代表者・分担者の思想の根底には「スペクトル」という共通の水脈がある. 1.一瀬,高信敏はElectronic J.Prob.の論文で,確率解析的方法により,相対論的シュレーディンガー作用素を含む一般のレビ過程に付随した作用素に対応する転送作用素とシュレーディンガー半群との差のL^p作用素ノルム評価を小さい時間tのベキにより与えた.この成果は,非相対論的・相対論的シュレーディンガー作用素の両方の場合を統一的に扱った一瀬・高信の前論文(Nagoya Math.J.1998)の結果を含むばかりではなく,ある意味で,(磁場のある場合を除いた)すべての場合を包括するより一般のポテンシャルに対し,精密な結果を与えたものである. 2.一瀬,田村英男は,2つの非負自己共役作用素の作用素和が自己共役のときに,リー・トロッター・加藤積公式が作用素ノルムで収束することを証明した. 3.田村博志は,反例を構成することにより,我々の上の2の結果をサポートした. 4.田村英男は伊藤宏と共に,2次元磁場を持つ2次元シュレーディンガー作用素に対して,アハラノフ・ボーム効果を散乱振幅の漸近挙動によって見る興味ある研究も行った. 5.谷島賢二は,シュレーディンガー方程式の基本解の無限遠方でのふるまいが,ポテンシャル|x|^αのベキαが2より大きいか小さいかによって影響が如何に現れるかに関する興味深い研究を行った.<br />The research, primarily motivated by B.Helffer's work 1994-5 on the Kac transfer operator as well as Rogava's work in 1993 on the Lie-Trotter product formula in operator norm.(1) Ichinose and Takanobu considered the operator associated with the Levy process which is including the relativistic Schodinger operator, and proved (in Electronic J.Math.) by a probabilistic method based the Feynman-Kac formula sharp L^p-norm estimates between it semigroup and corresponding transfer operator.(2) Ichinose and Hideo Tamura has proved a very general result that the selfadjoint Lie-Trotter-Kato product formula holds in operator norm if the operator sum of two nonnegative selfadjoint operators is selfadjoint.(3) Hiroshi Tamura constructed an counterexample to support that our result in (2) is best possible.(4) Hideo Tamura keep studying with Hiroshi Ito the 2-demensional magnetic Schrodinger operator to watch the Aharanov-Bohm effect.(5) Yajima keeps studying how the fundamental solution of the Schrodinger equation behaves at infinity according as the potential is sub-quadratic or super-quadratic.<br />研究課題/領域番号:11440040, 研究期間(年度):1999–2000<br />出典：「カッツの転送作用素及びLie-Trotter積公式とその周辺の問題」研究成果報告書 課題番号11440040(KAKEN：科学研究費助成事業データベース（国立情報学研究所）) 本文データは著者版報告書より作成
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一瀬, 孝 ; Ichinose, Takashi
概要:
本研究課題は,B.Helffer(1994-5)のカッツの転送作用素に関する仕事とRogava(1993)の作用素ノルムに関するリー・トロッター積公式に関する仕事がこの研究の動機であった.研究代表者・分担者の各々の研究の思想の根底には「スペ
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クトル」という共通の水脈があり,この2年間シュレーディンガー作用素論との関連に基づいて研究を進めてきた. 1. 一瀬は,高信敏と共に,Feynman-Kac公式を角いる確率論的方法により,標記の評価をHelfferの考えたものより一般のポテンシャルに対して,非相対論的・相対論的な場合に予想した結果を証明するとともに,シュレーディンガー作用素に関する作用素ノルムでのLie-Trotter積公式も導くことができた(Commun.Math.Phys.1997.Nagoya Math.j.1998).更に相対論的な場合を含むより一般のLevy過程に付随した作用素の場合へ拡張する論文を準備中である. 2. 一瀬は,また田村英男と共に,一部,百目鬼敦も加わり,作用素論的方法で1とほぼ同様な結果を得た.作用素ノルム評価ばかりではなく,トレースノルムでのLie-Trotter積公式を証明した(J.Math,Soc.Japan 1998.Asymptotic Analysis 1998).更に作用素ノルムでのLie-Trotter積公式に関して.Rogavaより強い条件の下ではあるが,より良い誤差評価を得た(Integr.Equat.Op.Theory 1997.Osaka j.Math.1998). 3. 田村博志は,作用素ノルムに関するLie-Trotter積公式に関して,最近Neidhardt-Zagrebnovの得た誤差評価が最良であることを最近のプレプリントで注意した.更に,伊東恵一と共に.0(N)ハイゼンベルグ模型の臨界温度の上からの良い評価を得た. 4. 谷島賢二は,シュレーディンガー方程式の基本解の特異性に関して大変顕著な結果を得た.<br />The research, motivated by B.Helffer's work 1994-5 on the Kac transfen operator and Rogava's work 1993 on the Lie-Trotter product formula in operator norm, has been carried out, mainly noting its connection with the theory of Schrodinger operators.(1) Ichinose used, with Satoshi Takanobu, probabilistic methods with the Feynman-Kac formula to prove the estimates as mentioned in the title of this project for potentials more general than those treated by Helffer, and also the Lie-Trotter product formula in operator norm for Schrodinger operators. The results are obtained in both the nonrel-ativistic and relativistic cases (Commun. Math. Phys. 1997, Nagoya Math. J.1998). Further, a paper is in preparation which extentds to the case of the more general operators associated with the Levy process including the relativistic Schrodinger operator.(2) Ichinose used, with Hideo Tamura and partly also with Atsushi Doumeki, operator-theoretical methods to prove almost the same nonrelativistic results as in (1). The Lie-Trotter product formulas were also proved not only in operator norm but also in trace norm (J.Math. Soc. Japan 1998, Asymptotic Analysis 1998). As for the Lie-Trotter product formula in operator norm, a better error bound than Rogava's, though under a stronger condition than his, was proved (Integr. Equat. Op. Theory 1997, Osaka J.Math. 1998).(3) Hiroshi Tamura has noted in a recent preprint on the Lie-Trotter product formula in operator norm that one of the recent results by Neidhardt-Zagrebnov gives an optimal error bound. He also obtained, with Kei-ichi Ito, good estimates for the upper bound of the critical temperature of O(N) Heisenberg models.(4) Kenji Yajima proved a very sharp result on the singularity of the fundamental solution for the Schrodinger equation.<br />研究課題/領域番号:09440053, 研究期間(年度):1997–1998<br />出典：「カッツの転送作用素とシュレーディンガー半群との差のノルム評価に関する研究」研究成果報告書 課題番号09440053 (KAKEN：科学研究費助成事業データベース（国立情報学研究所）) 本文データは著者版報告書より作成
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